Question

【題目】已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓 =1（a＞b＞0）的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓 =1（a＞b＞0）的焦點與頂點，
∴雙曲線的頂點是（0，± ），焦點是（0，±a），
設雙曲線方程為 （m＞0，n＞0），
∴雙曲線的漸近線方程為y=± x，
∵m= ，n2=a2﹣m2=b2 ，
∴n=b，
∵雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x，
∴m=n，
∴a2﹣b2=b2 ，
∴c2=a2﹣c2 ，
∴a2=2c2 ，
∴a= c
∴e= = ．
故選：C．