Question

拋物線y²＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線l₁：y＝x和l₂：y＝－x相切的圓，
(1)求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(2)是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：
①l分別與直線l₁和l₂交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4，1)；
②l被圓N截得的弦長為2.

Answer 1

（1）(2，0)（2）不存在滿足條件的直線l.

(1)因?yàn)閽佄锞�y²＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2.所以p＝4，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)，所以定點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，0)．
(2)假設(shè)存在直線l滿足兩個(gè)條件，顯然l斜率存在，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－4)，k≠±1.以N為圓心，同時(shí)與直線l₁：y＝x和l₂：y＝－x相切的圓N的半徑為.因?yàn)閘被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1,即d＝＝1，解得k＝0或，當(dāng)k＝0時(shí)，顯然不合AB中點(diǎn)為E(4，1)的條件，矛盾，當(dāng)k＝時(shí)，l的方程為4x－3y－13＝0.由，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(13，13)；由，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.顯然AB中點(diǎn)不是E(4，1)，矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.