Question

【題目】已知橢圓C：和點.

（1）求橢圓C的焦點坐標(biāo)和離心率；

（2）設(shè)直線l：與橢圓C交于A，B兩點，求弦長；

（3）求通過M點且被這點平分的弦所在的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）和，；（2） ；（3）.

【解析】

（1）將橢圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得焦點坐標(biāo)和離心率；

（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得兩個交點坐標(biāo)，結(jié)合兩點間距離公式即可求得弦長；

（3）設(shè)、，代入橢圓方程并作差，結(jié)合中點坐標(biāo)公式及直線的斜率公式即可確定直線方程.

（1）由得，

，，，

∴焦點坐標(biāo)是和；離心率.

（2）聯(lián)立方程組，

消y得，得，或，

則A，B兩點坐標(biāo)分別為和，

弦長.

（3）顯然直線不與x軸垂直，可設(shè)此直線方程為，

設(shè)交點分別為、，則，

，

又，

，，

，

直線方程為 即.