Question

【題目】已知，點是圓上的點，是線段的中點．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程;

（Ⅱ）過點的直線和軌跡有兩個交點（不重合）,若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設M（x，y），則P（-5，0）關于M的對稱點為Q（2x+5，2y），由此能求出軌跡C的方程．

（Ⅱ）設A，B，設直線l的方程是y=k（x+5），由方程組，得，由此利用根的判別式和韋達定理能求出直線l的方程．

試題解析：（Ⅰ）設，則關于的對稱點為，

∵點是圓上的點，

∴，即，

所以軌跡的方程是．

（Ⅱ）① 設，由題意，直線的斜率存在，設為，則直線的方程是,

由方程組 得，，

由,得

∴，

∵，∴,

∴,

∴，

解得，，∴直線的方程是，

即直線的方程是或．

【另解】設坐標原點為，作，垂足為．

∵，∴,由（I）可知，,∴．

又，∴，

∴．∴直線的斜率，∴直線的方程是，

即直線的方程是或．