Question

【題目】設函數

（1）求的單調區間；

（2）證明：曲線不存在經過原點的切線．

Answer 1

【答案】（1）時， 在區間及內單調遞增，在內單調遞減； 時， 在內單調遞增；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）研究單調區間，先求導數，接著研究的正負，按或分類可得結論；（2）否定性命題，可用反證法，即假設曲線在點處的切線經過原點，則，即，下面只要證明這個方程無實數解即可，這又要化簡此方程，然后用導數研究函數得結論．

試題解析：（1）的定義域為， .

令，得，

當，即時， ，∴在內單調遞增，

當，即時，由解得

， ，且，

在區間及內， ，在內， ，

∴在區間及內單調遞增，在內單調遞減.

（2）假設曲線在點處的切線經過原點，

則有，即，

化簡得： （*）

記，則，

令，解得.

當時， ，當時， ，

∴是的最小值，即當時， .

由此說明方程（*）無解，∴曲線沒有經過原點的切線.