Question

【題目】如圖，已知拋物線：與圓： （）相交于， ， ，四個點，

（1）求的取值范圍；

（2）設四邊形的面積為，當最大時，求直線與直線的交點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）點的坐標為

【解析】

將拋物線方程與圓方程聯立,消去得到關于的一元二次方程, 拋物線與圓有四個交點需滿足關于的一元二次方程在上有兩個不等的實數根,根據二次函數的有關性質即可得到關于的不等式組,解不等式即可.

不妨設拋物線與圓的四個交點坐標為，，，，據此可表示出直線、的方程,聯立方程即可表示出點坐標,再根據等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達式,令,由及知,對關于的面積函數進行求導，判斷其單調性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時的值,進而求出點坐標.

（1）聯立拋物線與圓的方程

消去，得.

由題意可知在上有兩個不等的實數根.

所以解得，

所以的取值范圍為.

（2）根據（1）可設方程的兩個根分別為，（），

則，，，，

且，，

所以直線、的方程分別為

，

,

聯立方程可得,點的坐標為，

因為四邊形為等腰梯形,

所以

，

令，則，

所以，

因為,所以當時,；當時,，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

即當時，四邊形的面積取得最大值，

因為,點的坐標為,

所以當四邊形的面積取得最大值時,點的坐標為.