Question

【題目】已知橢圓與拋物線在第一象限的交點為，橢圓的左、右焦點分別為，其中也是拋物線的焦點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線（不與軸重合）交橢圓于兩點，點為橢圓的左頂點，直線分別交直線于點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意，由拋物線性質可求焦點坐標和點坐標，結合橢圓定義，可求，計算即可求解；

（2）設，討論直線與軸是否垂直，再根據直線與橢圓方程聯立方程組法，結合韋達定理，計算，即可證明.

（1）拋物線的焦點為，

，∴，

∴，∴，

又，∴，

∴，∴，

又∵，∴，

∴橢圓的方程是：；

（2）設

當直線與軸垂直時，易得：或，

又，∴，或者，

∴，∴

當直線與不垂直時，設直線的方程為：，

聯方程組，消去整理得：，

所以：，

又共線，

∴，得，同理：，

∴，

∴

又因為

∴，則

綜上，為定值.