Question

有三個新興城鎮，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=A,BC=2B.今計劃合建一個中心醫院，為同時方便三鎮，準備建在BC的垂直平分線上的P點處.

（1）若希望點P到三鎮距離的平方和為最小，點P應位于何處？

（2）若希望點P到三鎮的最遠距離為最小，點P應位于何處？

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：由題設可知A>B>0,記h=,設P的坐標為（0,y），則P至三鎮距離的平方為 f(y)=2(B2+y2)+（h－y）2 =3(y－)2+h2+2B2. 所以，當y=時，函數f(y)取得最小值. 答：點P的坐標是（0，）. （2）P至三鎮的最遠距離為 由≥|h－y|解得y≥，記y*=,于是 當y*≥0,即h≥B時，z=g(y)的圖象如圖（A），因此，當y=y*時，函數g(y)取得最小值. 當y*<0，即h<B時，z=g(y)的圖象如圖（B），因此，當y=0時，函數g(y)取得最小值.   答：當h≥B時，點P的坐標為（0，）； 當h<B時，點P的坐標為（0,0）.其中h=. 解法三：因為在△ABC中，AB=AC=A,所以△ABC的外心M在射線AO上，其坐標為（0, ）， 且AM=BC=CM. 當P在射線MA上，記P為P1； 當P在射線MA的反向延長線上，記P為P2.若h=≥B（如圖C），則點M在線段AO上.這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C或P2A，且P1C≥MA， 所以點P與外心M重合時，P到三鎮的最遠距離最小. 若h=<B（如圖d），則點M在線段AO外. 這時P到A、B、C、三點的最遠距離為P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，所以點P與BC邊中點O重合時，P到三鎮的最遠距離最小. 答：當≥B時，點P的位置在△ABC的外心（0, ）;