Question

（2003•北京）有三個新興城鎮，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=13km，BC=10km．今計劃合建一個中心醫院，為同時方便三鎮，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標系如圖）
（Ⅰ）若希望點P到三鎮距離的平方和為最小，點P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮的最遠距離為最小，點P應位于何處？

Answer 1

分析：（I）設P的坐標為（0，y），表示出P至三鎮距離的平方和，利用配方法，即可得到建立；
（II）P至三鎮的最遠距離為g(x)=

25+y2 ，當 25+y2 ≥|12-y| |12-y|，當 25+y2 ＜|12-y|.

解法一：確定函數的單調性，即可求最值，從而可得點P的坐標；
解法二：作出函數的圖象，結合圖象，可得結論；
解法三：結合圖形，分類討論，確定點P與外心M重合時，P到三鎮的最遠距離最小．

解答：解：（Ⅰ）設P的坐標為（0，y），則P至三鎮距離的平方和為f（y）=2（25+y²）+（12-y）²=3（y-4）²+146．
所以，當y=4時，函數f（y）取得最小值．
答：點P的坐標是（0，4）．
（Ⅱ）解法一：P至三鎮的最遠距離為g(x)=

25+y2 ，當 25+y2 ≥|12-y| |12-y|，當 25+y2 ＜|12-y|.

由

25+y2

≥|12-y|解得y≥

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24

，記y*=

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，于是g(x)=

25+y2 ，當y≥y* |12-y|，當y＜y*.

因為

25+y2

在[y^*，+∞）上是增函數，而|12-y|在（-∞，y^*]上是減函數．
所以y=y^*時，函數g（y）取得最小值．
答：點P的坐標是(0，

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)；
解法二：P至三鎮的最遠距離為 g(x)=

25+y2 ，當 25+y2 ≥|12-y| |12-y|，當 25+y2 ＜|12-y|.

由

25+y2

≥|12-y|解得y≥

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，記y*=

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24

，于是g(x)=

25+y2 ，當y≥y* |12-y|，當y＜y*.

函數x=g（y）的圖象如圖（a），
因此，當y=y^*時，函數g（y）取得最小值．
答：點P的坐標是(0，

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)；
解法三：因為在△ABC中，AB=AC=13，且，

AC2-OC2

=12＞5=OC，∠ACB=

π

4

，如圖(b)．
所以△ABC的外心M在線段AO上，其坐標為(0，

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)，且AM=BM=CM．
當P在射線MA上，記P為P₁；
當P在射線MA的反向延長線上，記P為P₂，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮的最遠距離最小．
答：點P的坐標是(0，

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)；

點評：本小題主要考查函數，不等式等基本知識，考查運用數學知識分析問題和解決問題的能力．