Question

【題目】若定義在R上的函數對任意的、，都有成立，且當時，.

(1)求證：是R上的增函數；

(2)若，解不等式．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)要判斷函數的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個x1＜x2∈R，判斷出f（x1）與f（x2）的大小即可知道增減性．

(2)已知f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）＝5，則f（4）＝f（2）+f（2）﹣1f（2）＝3．由不等式f（3m﹣2）＜3，得f（3m﹣2）＜f（2），由（1）知，f（x）是R上的增函數，得到3m﹣2＜2，求出解集即可．

(1) 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）>1，

∵f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1，

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+ x1）﹣f（x1）

＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1>0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）是R上的增函數．

（2）∵f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）＝5，

∴f（4）＝f（2）+f（2）﹣1f（2）＝3．

由不等式f（3m﹣2）＜3，得f（3m﹣2）＜f（2），

由（1）知，f（x）是R上的增函數，

∴3m﹣2＜2，∴3m﹣4＜0，∴﹣1<m，

∴不等式f（3m﹣2）＜3的解集為（﹣1，）．

因此，不等式的解集為