Question

如圖是從上下底面處在水平狀態下的棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中分離出來的．有如下結論：
①∠DC₁D₁在圖中的度數和它表示的角的真實度數都是45°；
②∠A₁C₁D=∠A₁C₁D₁+∠D₁C₁D；
③A₁C₁與BC₁所成的角是30°；
④若BC=m，則用圖示中這樣一個裝置盛水，最多能盛

1

6

m3的水．
其中正確的結論是

 

（請填上你所有認為正確結論的序號）．

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關系,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：①利用正方體的各個面是正方形的性質即可得出；
②通過正方體計算，即可判斷；
③利用對角面的性質、表面對角線組成的△A₁C₁D是等邊三角形即可求出；
④題目中的圖形一個裝置來盛水，那么盛最多體積的水時應是三棱錐C₁-B₁CD₁的體積．

解答： 解：補全正方體如圖所示：
①在正視圖的等腰直角三角形DC₁D₁中，∠DC₁D₁在圖中的度數和它表示的角的真實度數都是45°，故①正確；
②由于∠A₁C₁D=60°，∠A₁C₁D₁+∠D₁C₁D=45°+45°=90°，
故②錯；
③連接A₁D．∵A₁D=A₁C₁=DC₁，∴△A₁C₁D是正三角形．
故∠A₁C₁D=60°．即∠A₁C₁D的真實度數是60°，故③錯；
④用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么盛最多體積的水時應是
三棱錐C₁-B₁CD₁的體積．
又V C1-B1D1C=V C-B1C1D1=

1

3

×

1

2

×1•1•1=

1

6

（m³）．
∴用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多可以盛

1

6

m³體積的水，故④正確．
故答案為：①④．

點評：本題主要考查了棱柱、棱錐、棱臺．熟練掌握正方體對角面、表面對角線的性質及三棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．