Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數在定義域內不單調，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義得到， ，進而得到在處的切線方程為；（2）先求當函數單調時參數的范圍，再求補集即可，函數在定義域內單調，等價于恒成立，或恒成立，即恒成立，或恒成立，等價于恒成立或恒成立，構造函數研究函數的單調性求函數最值即可.

解析：

函數的定義域為，

導函數．

（Ⅰ）當時，因為， ，

所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ），

設函數在定義域內不單調時， 的取值范圍是集合；

函數在定義域內單調時， 的取值范圍是集合，則．

所以函數在定義域內單調，等價于恒成立，或恒成立，

即恒成立，或恒成立，

等價于恒成立或恒成立．

令，則，

由得 ，所以在上單調遞增；

由得 ，所以在上單調遞減．

因為， ，且時， ，

所以．

所以，

所以．