Question

【題目】已知，函數

（1）解關于的不等式；

（2）若不等式對任意實數恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．然后分a＜﹣1，a＝﹣1，a＞﹣1三類求解不等式的解集；

（2）|f（x）|≥g（x）對任意實數x恒成立|x2+（2a+1）x|≥ax對任意實數x恒成立，當a＝0時，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax對任意x∈R都成立；當a＞0時，分x∈（﹣∞，0]與x∈（0，+∞）分類分析；當a＜0時，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax顯然不成立；當a時，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，則t（x）＝x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．然后利用導數求解滿足條件的a的取值范圍．

（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．

當a＜﹣1時，解得0≤x≤﹣a﹣1．當a＝﹣1時，解得x＝0．當a＞﹣1時，解得﹣a﹣1≤x≤0．

∴當a＜﹣1時，不等式f（x）≤g（x）的解集為[0，﹣a﹣1]；

當a＝﹣1時，不等式f（x）≤g（x）的解集為{0}；

當a＞﹣1時，不等式f（x）≤g（x）的解集為[﹣a﹣1，0]．

（2）|f（x）|≥g（x）對任意實數x恒成立|x2+（2a+1）x|≥ax對任意實數x恒成立，

當a＝0時，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax對任意x∈R都成立；

當a＞0時，當x∈（﹣∞，0]時，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，

當x∈（0，+∞）時，令h（x）＝x2+（2a+1）x﹣ax＝x2+ax+x，h′（x）＝2x+a+1＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上為增函數，則h（x）＞h（0）＝0，∴不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，

∴當a＞0時，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立；

當a＜0時，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax顯然不成立；

當a時，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，

則只需不等式|x2+（2a+1）x|≥ax在x∈（﹣∞，0）上恒成立．

即t（x）＝x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．

∵t′（x）＝2x+a+1，由2x+a+1＝0，解得x，若﹣1＜a，

則當x∈（﹣∞，）時，t′（x）＜0，當x∈（，0）時，t′（x）＞0，

∴x∈（﹣∞，0）時，，不合題意；

若a≤﹣1，則x∈（﹣∞，0）時，t′（x）≤0，t（x）為減函數，則t（x）＞t（0）＝0．

綜上，不等式|f（x）|≥g（x）對任意實數x恒成立時a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．