Question

設m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ．
（1）當m=n=7時，f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀，求a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）若f（x） 展開式中 的系數是19，當 m，n變化時，求x²系數的最小值．

Answer 1

分析：（1）分別給f（x）中的x賦值1，-1，兩個式子相加求出a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）由已知得到m，n滿足的條件，利用二項展開式的通項公式求出展開式中x²的系數，通過代入消元得到關于n的二次函數，將二次函數配方求出最小值．

解答：解：（1）分別令x=1，x=-1，得a₀+a₂+a₄+a₆=128
（2）有題設知，m+n=19
x²的系數為：

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

m(m-1)+

1

2

n(n-1)
=

1

2

[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-(19-n)n
=(n-

19

2

)2+

323

4

所以，當n=10或n=9時，f（x）展開式中x²的系數最小，為81．

點評：求展開式的系數和常用的方法是賦值法；（2）中求二次函數的最值問題關鍵是通過配方求出對稱軸．