Question

設(shè)m，n∈N，f（x）=（1+2x）^m+（1+x）ⁿ．
（Ⅰ）當(dāng)m=n=2011時(shí)，記f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁；
（Ⅱ）若f（x）展開(kāi)式中x的系數(shù)是20，則當(dāng)m、n變化時(shí)，試求x²系數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，令x=-1，結(jié)合f（x）的表達(dá)式，可得f（-1）與a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁的關(guān)系，進(jìn)而可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得x的系數(shù)是2C_m¹+C_n¹=2m+n，結(jié)合題意，可得m、n的關(guān)系，又結(jié)合二項(xiàng)式定理可得x²的系數(shù)為2²C_m²+C_n²=4m²-41m+190；由二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案．

解答：解：（Ⅰ）在f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹中，
令x=-1，得f（-1）=a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁，
又有f（-1）=（1-2）²⁰¹¹+（1-1）²⁰¹¹，
則a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁=-1，
（Ⅱ）因?yàn)?C_m¹+C_n¹=2m+n=20，所以n=20-2m，
則x²的系數(shù)為2²C_m²+C_n²=4×

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=2m2-2m+

1

2

(20-2m)(19-2m)=4m²-41m+190；
所以當(dāng)m=5，n=10時(shí)，f（x）展開(kāi)式中x²的系數(shù)最小，最小值為85．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，解此類(lèi)題目注意賦值法的運(yùn)用，令x=0或±1是常見(jiàn)的賦值思路．