Question

設(shè)m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ，
（1）當(dāng)m=n=7時(shí)，若f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀求a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）當(dāng)m=n時(shí)，若f（x）展開式中x²的系數(shù)是20，求n的值．
（3）f（x）展開式中x的系數(shù)是19，當(dāng)m，n變化時(shí)，求x²系數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題可以應(yīng)用賦值法分別令x=1，x=-1，寫出兩個(gè)等式，把兩個(gè)等式相加得到要求的下標(biāo)是偶數(shù)的系數(shù)的和．
（2）寫出二項(xiàng)式的展開式，根據(jù)當(dāng)m=n時(shí)，f（x）展開式．中x²的系數(shù)是20，得到T₃=2C_n²x²=20x²，求出n的值．
（3）要求一個(gè)系數(shù)的最小值，首先表示出這個(gè)項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)m，n之間的關(guān)系，代入系數(shù)的表示式，根據(jù)二次函數(shù)的最值求法得到結(jié)果．

解答：解：（1）本題可以應(yīng)用賦值法：分別令x=1，x=-1，
2⁸=a₇+a₆+a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀
0=-a₇+a₆-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀
兩個(gè)式子相加得a₀+a₂+a₄+a₆=128…（4分）
（2）∵當(dāng)m=n時(shí)，f（x）展開式中x²的系數(shù)是20，
∴T₃=2C_n²x²=20x²，
∴n=5…（8分）
（3）當(dāng)m+n=19，
x²的系數(shù)為：

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

m(m-1)+

1

2

n(n-1)
=

1

2

[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-mn=171-(19-n)n=(n-

19

2

)2+

323

4

∴當(dāng)n=10或n=9時(shí)，f（x）展開式中x²的系數(shù)最小為81．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確利用二項(xiàng)式的展開式，本題還結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，是一個(gè)綜合題目．