Question

【題目】設橢圓長軸長為4，右焦點到左頂點的距離為3．

（1）求橢圓的方程；

（2）設過原點的直線交橢圓于兩點（不在坐標軸上），連接并延長交橢圓于點，若，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意，列出的方程組，求解即可求得結果；

（2）設出直線方程，聯立橢圓方程，結合韋達定理，用參數表示的面積；根據向量關系，求得，再利用對勾函數單調性求面積關于參數的函數的最大值即可.

（1）由題意可得，

所以橢圓方程為．

（2）由（1）知，

設直線的方程為，

聯立得．

設，，

則，．

因為，

故可得四邊形為平行四邊形，則，

又，

故．

設，，

則，

令，故可得，

當時，恒成立，故在單調遞增，

故在上單調遞減，

所以當，即時，

四邊形的面積取得最大值．