Question

某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費（超出不足lkm的部分按lkm計）．從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km．某司機經常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程（這個城市規定，每停車5分鐘按lkm路程計費），這個司機一次接送旅客的行車路程X是一個隨機變量．設他所收租車費為η．
（1）求租車費η關于行車路程X的關系式；
（2）若隨機變量X的分布列為

X	15	16	17	18
P	0.1	0.5	0.3	0.1

求所收租車費η的數學期望．
（3）已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘？

Answer 1

分析：（1）根據某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費，可得租車費η關于行車路程X的關系式；
（2）求出EX，根據（1）的結論，即可求所收租車費η的數學期望；
（3）根據某旅客實付租車費38元，可得38=2X+2，由此可求出租車在途中因故停車累計的時間．

解答：解：（1）依題意得η=2（X-4）+10，即η=2X+2．
（2）EX=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4
∵η=2X+2
∴Eη=2Eη+2=34.8（元）
故所收租車費η的數學期望為34.8元．
（3）由38=2X+2，得X=18，所以5×（18-15）=15
所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘．

點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查數學期望的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．