Question

設(shè)函數(shù)的定義域是,其中常數(shù).
(1)若,求的過(guò)原點(diǎn)的切線方程.
(2)當(dāng)時(shí),求最大實(shí)數(shù),使不等式對(duì)恒成立.
(3)證明當(dāng)時(shí),對(duì)任何,有.

Answer 1

(1)切線方程為和.(2)的最大值是.（3）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(1)一般地，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.注意，此題是求過(guò)原點(diǎn)的切線，而不是求在原點(diǎn)處切線方程，而該曲線又過(guò)原點(diǎn)，故有原點(diǎn)為切點(diǎn)和原點(diǎn)不為切點(diǎn)兩種情況.當(dāng)原點(diǎn)不為切點(diǎn)時(shí)需把切點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來(lái).(2)令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立.注意到,所以如果在單調(diào)增,則必有對(duì)恒成立.下面就通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.（3）不等式可變形為：.為了證這個(gè)不等式，首先證；而證這個(gè)不等式可利用導(dǎo)數(shù)證明.故令，然后利用導(dǎo)數(shù)求在區(qū)間上范圍即可.
試題解析：(1).若切點(diǎn)為原點(diǎn),由知切線方程為;
若切點(diǎn)不是原點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)為,由于,故由切線過(guò)原點(diǎn)知,在內(nèi)有唯一的根.
又,故切線方程為.
綜上所述,所求切線有兩條,方程分別為和.
(2)令,則,,顯然有,且的導(dǎo)函數(shù)為：
.
若,則,由知對(duì)恒成立,從而對(duì)恒有,即在單調(diào)增,從而對(duì)恒成立,從而在單調(diào)增,對(duì)恒成立.
若,則,由知存在,使得對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,再由知存在,使得對(duì)恒成立,再由便知不能對(duì)恒成立.
綜上所述,所求的最大值是.
（3）當(dāng)時(shí)，令，則