已知函數
（1）若方程
內有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍；（e為自然對數的底數）
（2）如果函數
的圖象與x軸交于兩點
、
且
.求證：
（其中正常數
）.
（1）
（2）
解析試題分析：（1）方程內有兩個不等的實根，可轉化為函數
的圖象與
有兩個不同的交點，可以利用導數研究函數在
上的單調性與極值并結合邊界值來確定實數m的取值范圍；
（2）由函數的圖象與x軸交于兩點、知方程
有兩根
因為
,
所以
只需證明：
在
上恒成立即可.
試題解析：（1）由，
求導數得到：
，故
在
有唯一的極值點
，且知
故
上有兩個不等實根需滿足：
故所求m的取值范圍為. （6分）
（2）又
有兩個實根
則
兩式相減得到：
于是
，故
要證：
，只需證：
只需證：
令
，則
只需證明：在上恒成立.
又
則
于是由
可知
.故知
上為增函數，則
從而可知
，即（*）式成立，從而原不等式得證. （14分）
考點：1、導數在研究函數性質中的應用；2、等價轉化與數形結合的思想.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
..
（1）設曲線
處的切線為
，點（1，0）到直線l的距離為
，求a的值；
（2）若對于任意實數
恒成立，試確定
的取值范圍；
（3）當
是否存在實數
處的切線與y軸垂直？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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．
的單調性，并說明理由；
恒成立，求實數
的取值范圍．
在
時取得極小值．
的值；
，使得
在該區間上的值域為
？若存在，求出
，
的值；
．
，
．
的圖象在
處的切線與
軸平行，求
的值；
，
恒成立，求
,函數
時,求函數
的表達式;
,函數
上的最小值是2 ,求
的值;
的定義域是
,其中常數
.
,求
的過原點的切線方程.
時,求最大實數
,使不等式
對
恒成立.
,有
.
，
，
．
，試判斷并用定義證明函數
的單調性；
時，求函數
．