Question

（本題滿分13分）
設橢圓的左、右焦點分別為F₁與F₂，直線過橢圓的一個焦點F₂且與橢圓交于P、Q兩點，若的周長為。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經過伸縮變換變成曲線，直線與曲線相切且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若，求面積的取值范圍。（O為坐標原點）

Answer 1

,

（1）依題意與軸交于點F₂（1，0）
即    （1分）
又
所以


所以橢圓C的方程為  （4分）
（2）依題意曲線的方程為
即圓  （5分）
因為直線與曲線相切，
所以，
即        （6分）
由
得
設
所以，
所以          （7分）
所以    （8分）
所以

又
所以  （9分）
所以
又
所以，
所以  （10分）
又
設
因為，所以

在上為遞增函數，
所以  （12分）
又O到AB的距離為1，
所以
即的面積的取值范圍為   （13分）