Question

已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．

(1)求橢圓C的方程；
(2)己知點P(2，3)，Q(2，-3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足APQ=BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

(1).  (2) 的斜率為定值.

試題分析：(1)設橢圓的方程為，
由. ,即可得.
(2) 當時，、的斜率之和為0.
設直線的斜率為, 則的斜率為,的直線方程為, 的直線方程為,分別與橢圓方程聯立，應用韋達定理，確定坐標關系，通過計算
 ,
得到結論.
試題解析：(1)設橢圓的方程為
則. 由,得，
∴橢圓C的方程為.                      5分
(2) 當時，、的斜率之和為0,設直線的斜率為, 
則的斜率為,的直線方程為, 
由 整理得
,          9分
  ,
同理的直線方程為,
可得 
∴ ,              12分
 ,
所以的斜率為定值.                     13分