Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)是)和，并且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)E在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓C的右頂點(diǎn)F．
（1）求橢圓C和拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁、l₂，l₁交拋物線E于點(diǎn)A、B，l₂交拋物線E于點(diǎn)G、H，求的最小值．

Answer 1

（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）有最小值為16．

試題分析：（1）由于橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都等于,所以，
，由此即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，，則 
.再設(shè)l₁的方程：，l₂的方程，用韋達(dá)定理將上式表示為即可求得其最小值.
試題解析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0)，焦距為2c，
則由題意得c=，，
∴，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．         4分
∴右頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．
設(shè)拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴ ，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．      6分
（2）設(shè)l₁的方程：，l₂的方程，
，，，，
由消去y得：，
∴．
由消去y得：，
∴     9分
∴





．
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，有最小值16．  13分