Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩圓C₁與C₂的圓心的距離之和等于4，其中C₁：，C₂：. 設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．問(wèn)k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？

Answer 1

(1)   (2)

試題分析：
(1) 通過(guò)配方把圓和圓的普通方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得到圓心的坐標(biāo),根據(jù)橢圓的定義可以判斷C點(diǎn)軌跡為橢圓,其中兩個(gè)圓的圓心為焦點(diǎn)可得且橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,根據(jù)題意,李永剛之間的關(guān)系即可求出的值,進(jìn)而得到C的方程.
(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到AB兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系,利用得到AB橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求出k的值,再利用橢圓的弦長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)度.
試題解析：
（1）由已知得兩圓的圓心坐標(biāo)分別為.      （1分）
設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓．                                                      （2分）
它的短半軸長(zhǎng)，                              （3分）
故曲線C的方程為．                                   （4分）
（2）設(shè)，其坐標(biāo)滿足 
消去y并整理得，                         （5分）
∵， ，∴，
故．                          （6分）
又              （7分）
于是．       （8分）
令，得.                                   （9分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042102641867.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)時(shí)，有，即.                （10分）
當(dāng)時(shí)，，．                   （11分）
，           （12分）
而，        （13分）
所以．                                          （14分）