Question

（2012•陜西）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，則直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值為（　　）

• A．

  5

  5

• B．

  5

  3

• C．

  2 5

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：根據(jù)題意可設(shè)CB=1，CA=CC₁=2，分別以CA、CC₁、CB為x軸、y軸和z軸建立如圖坐標(biāo)系，得到A、B、B₁、C₁四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

BC1

與

AB1

的坐標(biāo)，根據(jù)異面直線所成的角的定義，結(jié)合空間兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可以算出直線BC₁與直線AB₁夾角的余弦值．

解答：解：分別以CA、CC₁、CB為x軸、y軸和z軸建立如圖坐標(biāo)系，
∵CA=CC₁=2CB，∴可設(shè)CB=1，CA=CC₁=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B₁（0，2，1），C₁（0，2，0）
∴

BC1

=（0，2，-1），

AB1

=（-2，2，1）
可得

BC1

•

AB1

=0×（-2）+2×2+（-1）×1=-3，且

|BC1|

=

5

，

|AB1|

=3，
向量

BC1

與

AB1

所成的角（或其補(bǔ)角）就是直線BC₁與直線AB₁夾角，
設(shè)直線BC₁與直線AB₁夾角為θ，則cosθ=|

BC1 • AB1

|BC1| •|AB1|

|=

5

5

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的直三棱柱，求位于兩個(gè)側(cè)面的面對(duì)角線所成角的余弦之值，著重考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和異面直線及其所成的角的概論，屬于基礎(chǔ)題．