Question

【題目】如圖，是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在上的一點的正北方向的處建設一倉庫，設，并在公路北側建造邊長為的正方形無頂中轉站（其中在上），現從倉庫向和中轉站分別修兩條道路，已知，且．

（1）求關于的函數解析式，并求出定義域；

（2）如果中轉站四堵圍墻造價為10萬元，兩條道路造價為30萬元，問：取何值時，該公司建設中轉站圍墻和兩條道路總造價最低．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函數的解析式，然后求解定義域．（2）求出M=30（2y-1）+40x，通過基本不等式求解表達式的最值即可．

（1）在△BCF中，CF＝x，∠FBC＝30°，CF⊥BF，所以BC＝2x．

在△ABC中，AB＝y，AC＝y﹣1，∠ABC＝60°，

由余弦定理，得AC2＝BA2+BC2﹣2BABCcos∠ABC，

即 （y﹣1）2＝y2+（2x）2﹣2y2xcos60°，

所以 ．

由AB﹣AC＜BC，得．又因為＞0，所以x＞1．

所以函數的定義域是（1，+∞）．

（2）M＝30（2y﹣1）+40x．

因為．（x＞1），所以M＝30

即 M＝10．

令t＝x﹣1，則t＞0．于是M（t）＝10（16t+），t＞0，由基本不等式得M（t）≥10（2）＝490，

當且僅當t＝，即x＝時取等號．

答：當x＝km時，公司建中轉站圍墻和兩條道路最低總造價M為490萬元．