Question

【題目】是定義在R上的函數，對∈R都有，且當＞0時，＜0，且＝1.

(1)求的值；

(2)求證：為奇函數；

(3)求在[－2,4]上的最值．

Answer 1

【答案】(1) f(0)＝0,f(－2)＝2; (2)證明見解析；（3）f(x)max＝2， f(x)min＝－4.

【解析】

試題本題為抽象函數問題，解決抽象函數的基本方法有兩種：一是賦值法，二是“打回原型”，本題第一步采用賦值法，先給x,y賦值0，求出f(0)，再給x,y賦值-1，求出f(--2)；判斷函數奇偶性，就是尋求f(-x)與f(x)的關系，給y賦值-x，得出f(-x)=-f(x),判斷出函數的奇偶性；再根據函數的奇偶性，得出函數圖像的對稱性，再利用賦值法判斷函數的單調性，根據函數的奇偶性和單調性求出函數的最值.

試題解析：

(1)f(x)的定義域為R，

令x＝y＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0，

∵f(－1)＝1，

∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2，

(2)令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數．

(3)設x2>x1，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)

∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，

∴f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)<f(x1)，

∴f(x)在R上為減函數．

∴f(2)＝－f(－2)＝－2，

∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－4，

∵f(x)在[－2,4]上為減函數，

∴f(x)max＝f(－2)＝2，

f(x)min＝f(4)＝－4.