Question

【題目】是等邊三角形，邊長為4， 邊的中點為，橢圓以， 為左、右兩焦點，且經過、兩點。

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）過點且軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點，求證：直線與的交點在一條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得 ，可得b,即得橢圓的標準方程；（2）由對稱性知需證直線與的交點橫坐標為定值，設， ，利用點斜式寫出直線與方程，解方程組得交點橫坐標滿足，再設的方程為，代入化簡得，聯立直線MN方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡即得.

試題解析：解：（1）由題意可知兩焦點為與，且，因此橢圓的方程為.

（2）①當不與軸重合時，

設的方程為，且，

聯立橢圓與直線消去可得，即

，

設，

則： ①

： ②

②－①得

則，即.

②當與軸重合時，即的方程為，即， .

即： ①

： ②

聯立①和②消去可得.

綜上與的交點在直線上.