Question

【題目】現有一張長為，寬為（）的長方形鐵皮，準備用它做成一個無蓋長方體鐵皮容器，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失.如圖，在長方形的一個角上剪下一塊邊長為的正方形鐵皮，作為鐵皮容器的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮容器的側面，設長方體的高為，體積為.

（Ⅰ）求關于的函數關系式；

（Ⅱ）求該鐵皮容器體積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）.（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）根據一張長為 ，寬為 的長方形鐵皮 可得 ，進而可確定 與的關系式；
（2）鐵皮盒體積

求導函數，分類討論，確定函數的極值，極大值，也是最大值．

試題解析:（（Ⅰ）由題意得，

即（）.

（Ⅱ）鐵皮容器體積 （）.

，

當時，即，在上， 恒成立，函數單調遞增，

此時；

當，即，在上， ，函數單調遞增，在上， ，函數單調遞減，此時.

所以