Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范圍．
（2）指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一個值最大，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差數列的前n項和的公式化簡分別得到①和②，然后利用等差數列的通項公式化簡a₃得到首項與公差的關系式，解出首項分別代入到①和②中得到關于d的不等式組，求出不等式組的解集即可得到d的范圍；
（2）根據（1）中d的范圍可知d小于0，所以此數列為遞減數列，在n取1到12中的正整數中只要找到有一項大于0，它的后一項小于0，則這項與之前的各項相加就最大，根據S₁₂＞0，S₁₃＜0，利用等差數列的性質及前n項和的公式化簡可得S₁，S₂，…，S₁₂中最大的項．

解答：解：（1）依題意，有S12=12a1+

12×(12-1)

2

•d＞0，
S13=13a1+

13×(13-1)

2

•d＜0
即

2a1+11d＞0① a1+6d＜0②

由a₃=12，得a₁=12-2d③，
將③式分別代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

∴-

24

7

＜d＜-3．

（2）由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得a_n＞0，a_n+1＜0，
則S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．
?

6(a1+a12)=6(a6+a7)＞0 13 2 (a1+a13)= 26a7 2 =13a7＜0

，
∴a₆＞0，a₇＜0，
故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．

點評：本小題考查數列、不等式及綜合運用有關知識解決問題的能力，是一道中檔題．