Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知(a4-1)3+2012(a4-1)=1，(a2009-1)3+2012(a2009-1)=-1，則下列結論中正確的是（　　）

A．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₀₉＜a₄

B．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₀₉＞a₄

C．S₂₀₁₂=2011，a₂₀₀₉＜a₄

D．S₂₀₁₂=2011，a₂₀₀₉＞a₄

Answer 1

分析：先確定等差數列的公差d＜0，再將條件相加，結合等差數列的求和公式及等差數列的性質，即可求得結論．

解答：解：由（a₄-1）³+2012（a₄-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2012（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₄-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0，即a₄＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，從而可得等差數列的公差d＜0
∴a₂₀₀₉＜a₄，
把已知的兩式相加可得（a₄-1）³+2012（a₄-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2012（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₄+a₂₀₀₉-2）•[（a₄-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₄-1）（a₂₀₀₉-1）+2012]=0
結合上面的判斷可知（a₄-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₄-1）（a₂₀₀₉-1）+2012＞0
所以a₄+a₂₀₀₉=2，而s2012=

2012

2

（a₁+a₂₀₁₂）=

2012

2

（a₄+a₂₀₀₉）=2012
故選A．

點評：本題考查了等差數列的性質的運用，靈活利用等差數列的性質是解決問題的關鍵，屬于中檔題．