Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}的首項a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求數列{

1

Sn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），根據條件和等差數列的通項公式列出方程求解，再代入等差數列的通項公式化簡即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的公差，代入等差數列的前n項和公式化簡，再求出

1

Sn

并進行列項，再求出數列{

1

Sn

}的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），
由題意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=na1+

n(n-1)

2

d=2n+n(n-1)=n2+n，
∴

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
則Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
所以數列{

1

Sn

}的前n項和Tn=

n

n+1

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式和前n項和公式，以及裂項相消法求數列的前n項和，屬于中檔題．