Question

【題目】已知函數f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）若 ，試求f（x）在區間[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2（ ）2﹣4）+f（4m﹣2（ ））＞0對任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），

∴f（0）=0．令y=﹣x，則f（0）=f（x）+f（﹣x），

∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）為奇函數

（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵當x＞0時，f（x）＞0，且x1＜x2，

∴f（x2﹣x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）為增函數，

∴當x=﹣2時，函數有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．

當x=6時，函數有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3

（3）解：∵函數 f（x）為奇函數，

∴不等式 可化為 ，

又∵f（x）為增函數，∴ ，

令t=log2x，則0≤t≤1，

問題就轉化為2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，

即4m＞﹣2t2+2t+4對任意t∈[0，1]恒成立，

令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞ymax，

而 （0≤t≤1），

∴當 時， ，則 ．

∴m的取值范圍就為

【解析】（1）在給出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可證明f（x）是奇函數；（2）利用函數單調性的定義，借助于已知等式證明函數f（x）為增函數，從而求出函數在給定區間上的最值；（3）由奇偶性把給出的不等式變形，然后利用單調性去掉“f”，換元后利用分離變量法求m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇偶性和指、對數不等式的解法的相關知識點，需要掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱；指數不等式的解法規律：根據指數函數的性質轉化;對數不等式的解法規律：根據對數函數的性質轉化才能正確解答此題．