Question

已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在函數y=log

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2

x的圖象上．
（Ⅰ）若數列{b_n}是等差數列，求證數列{a_n}為等比數列；
（Ⅱ）若數列{a_n}的前n項和為S_n=1-2^-n，過點P_n，P_n+1的直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為c_n，求使c_n≤t對n∈N^*恒成立的實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點P_n（a_n，b_n）代入函數式，根據數列{b_n}是等差數列，可求得a²_n+1=a_na_n+1進而可證明數列a_n}為等比數列
（2）先看當n≥2時根據a_n=S_n-S_n-1求得數列{a_n}的通項公式，進而求得當n=1時也符合，求得數列{a_n}的通項公式代入b_n=log

1

2

a_n求得b_n，進而求得點P_n和P_n+1的坐標進而可得過這兩點的直線方程，進而求得該直線與坐標軸的交點坐標，根據三角形的面積公式求得c_n，進而可得c_n-c_n+1的表達式判斷其大于0，推斷出數列{c_n}的各項依次單調遞減，要使c_n≤t對n∈N⁺恒成立，需要t大于或等于數列的最大值c₁，進而可推斷存在最小的實數滿足條件．

解答：解：（1）依題意可知b_n=log

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2

a_n，
∵數列{b_n}是等差數列，
∴2b_n+1=b_n+b_n+2，即2log

1

2

a_n+1=log

1

2

a_n+log

1

2

a_n+2=log

1

2

（a_na_n+2）
∴a²_n+1=a_na_n+2
∴數列{a_n}為等比數列
（2）當n=1時，a₁=

1

2

，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

）ⁿ，n=1也適合此式，
即數列{a_n}的通項公式是a_n=（

1

2

）ⁿ．由b_n=log

1

2

a_n，得
數列{b_n}的通項公式是b_n=n，
所以P_n（

1

2n

，n），P_n+1（

1

2n+1

，n+1）．
過這兩點的直線方程是：

y-n

n+1-n

=

x- 1 2n

1 2n+1 - 1 2n

可得與坐標軸的交點是A_n（

n+2

2n+1

，0），B_n（0，n+2），
c_n=

1

2

×|OA_n|×|OB_n|=

(n+2) 2

2n+2

，
由于c_n-c_n+1=

(n+2) 2

2n+2

-

(n+3) 2

2n+3

＞0，即數列{c_n}的各項依次單調遞減，所以t≥c₁=

9

8

，即存在最小的實數t=

9

8

滿足條件．

點評：本小題主要考查數列、不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數學視野．