Question

（2007•深圳一模）已知點A（1，0），B（0，1）和互不相同的點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，滿足

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*)，其中{a_n}、{b_n}分別為等差數列和等比數列，O為坐標原點，若P₁是線段AB的中點．
（Ⅰ）求a₁，b₁的值；
（Ⅱ）點P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否共線？證明你的結論；
（Ⅲ）證明：對于給定的公差不零的{a_n}，都能找到唯一的一個{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在一個指數函數的圖象上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）P₁是線段AB的中點⇒

OP1

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，

OP1

=a1

OA

+b1

OB

，且

OA

 ，  

OB

不共線，由平面向量基本定理，能求出a₁，b₁的值．
（Ⅱ） 由

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*) ⇒ 

OPn

=(an ， bn)，設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則由于P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同，所以d=0，q=1不會同時成立；若d=0，則an=a1=

1

2

(n∈N*)，所以P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直線x=

1

2

上．由此能求出當d≠0且q≠1時，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…不共線． 
（Ⅲ）設P_n（a_n，b_n）都在指數函數y=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上，則bn=aan⇒

1

2

qn-1=a

1

2

+(n-1)d．令n=1，則

1

2

=a

1

2

  ⇒  a=

1

4

，于是，

1

2

qn-1=(

1

4

)

1

2

+(n-1)d ⇒q有唯一解q=(

1

4

)d．由此能夠得到當對于給定的{a_n}，都能找到唯一的一個{b_n}，使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在指數函數y=(

1

4

)x的圖象上．

解答：解：（Ⅰ）P₁是線段AB的中點⇒

OP1

=

1

2

OA

+

1

2

OB

…（1分）
又

OP1

=a1

OA

+b1

OB

，且

OA

 ，  

OB

不共線，
由平面向量基本定理，知：a1=b1=

1

2

…（3分）
（Ⅱ） 由

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*) ⇒ 

OPn

=(an ， bn)
設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則由于P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同，所以d=0，q=1不會同時成立； （4分）
若d=0，則an=a1=

1

2

(n∈N*)，⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直線x=

1

2

上；           …（5分）
若q=1，則bn=

1

2

為常數列，⇒P₁，P₂，P₃，…，P_n，…都在直線y=

1

2

上；             …（6分）
若d≠0且q≠1，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共線?

Pn-1Pn

=（a_n-a_n-1，b_n-b_n-1）與

PnPn+1

=(an+1-an， bn+1-bn)共線（n＞1，n∈N^*）?（a_n-a_n-1）（b_n+1-b_n）-（a_n+1-a_n）（b_n-b_n-1）=0?d（b_n+1-b_n）-d（b_n-b_n-1）=0?（b_n+1-b_n）=（b_n-b_n-1）?q=1與q≠1矛盾，
∴當d≠0且q≠1時，P₁，P₂，P₃，…，P_n，…不共線．      …（9分）
（Ⅲ）設P_n（a_n，b_n）都在指數函數y=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上，則bn=aan⇒

1

2

qn-1=a

1

2

+(n-1)d（10分）
令n=1，則

1

2

=a

1

2

  ⇒  a=

1

4

，…（11分）
于是，

1

2

qn-1=(

1

4

)

1

2

+(n-1)d ⇒q有唯一解q=(

1

4

)d，…（13分）
由于d≠0，⇒q≠1，從而滿足條件“P₁，P₂，P₃，…，P_n，…互不相同”．
∴當對于給定的{a_n}，都能找到唯一的一個{b_n}，
使得P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，都在指數函數y=(

1

4

)x的圖象上．…（14分）

點評：本題考查數列與解析幾何間的關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．