Question

對于二次函數f（x）=ax²+bx+c，有下列命題：
①若f（p）=f（q）（p≠q），則f（p+q）=c；
②若f（p）=q，f（q）=p，（p≠q），則f（p+q）=-（p+q）；
③若f（p+q）=c（p≠q），則p+q=0或f（p）=f（q）．
其中一定正確的命題是

①③

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①若f（p）=f（q）（p≠q），說明對稱軸為x=

p+q

2

則f（p+q）=f（0）=c
②說明對稱軸為x=

p+q

2

則f（p+q）=f（0）=c

解答：解：①若f（p）=f（q）（p≠q），則說明對稱軸為x=

p+q

2

則f（p+q）=f（0）=c，①正確
②若f（p）=q，f（q）=p，即

ap2+bp+c=q① aq2+bq+c=p②

①-②并整理得出a（p+q）+b+1=0
f（p+q）=a（p+q）²+b（p+q）+c=（p+q）[a（p+q）+b]+c=）=-（p+q）+c；當且僅當c=0時f（p+q）=-（p+q）；②錯誤
③若f（p+q）=c（p≠q），即a（p+q）²+b（p+q）+c=c，整理（p+q）[a（p+q）+b]=0，所以p+q=0
或a（p+q）+b=0，此時p+q=-

b

a

，對稱軸為x=

p+q

2

所以f（p）=f（q）． ③正確
綜上所述一定正確的命題是①③
故答案為：①③

點評：本題主要考查二次函數的對稱性．二次函數的對稱性主要研究的是，到對稱軸距離相等的點對應函數值相等，反之也成立．