Question

對于二次函數f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，若在區間[-1，1]內至少存在一個數c 使得f（c）＞0，則實數p的取值范圍是

（-3，1.5）

．

Answer 1

分析：由于二次函數f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1的圖象是開口方向朝上的拋物線，故二次函數f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1在區間[-1，1]內至少存在一個實數c，使f（c）＞0的否定為對于區間[-1，1]內的任意一個x都有f（x）≤0，即f（-1），f（1）均小于等0，由此可以構造一個關于p的不等式組，解不等式組即可求出實數p的取值范圍．

解答：解：二次函數f（x）在區間[-1，1]內至少存在一個實數c，使f（c）＞0的否定是：
對于區間[-1，1]內的任意一個x都有f（x）≤0，
∴

f(1)≤0 f(-1)≤0

即

4-2(p-2)-2p2-p+1≤0 4+2(p-2)-2p2-p+1≤0

整理得

2p2+3p-9≥0 2p2-p-1≥0

解得p≥

3

2

，或p≤-3，
∴二次函數在區間[-1，1]內至少存在一個實數c，
使f（c）＞0的實數p的取值范圍是 （-3，

3

2

）．

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，其中根據二次函數的圖象是開口方向朝上的拋物線，得到對于區間[-1，1]內的任意一個x都有f（x）≤0時，

f(1)≤0 f(-1)≤0

是解答本題的關鍵．