Question

(本題滿分12分)在如圖的多面體中，⊥平面，,，，，，，是的中點．

(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求證：；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.

Answer 1

試題分析：
解：(Ⅰ)證明：∵，∴； 又∵，是的中點，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴. ∵平面，平面，∴平面.      4分
(Ⅱ) 解法1：證明：∵平面，平面，∴；又，平面，∴平面. 過作交于，則平面.∵平面，∴.
∵，∴四邊形平行四邊形，∴，∴，又，∴四邊形為正方形，∴，又平面，平面，∴⊥平面. ∵平面，∴.         8分
解法2：∵平面，平面，平面，∴，，又，∴兩兩垂直. 以點為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系. 由已知得，，，，；∴，，
∴，∴.   8分
(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 設平面的法向量為，
∵，
∴，∴，即，令,得.
設二面角的大小為，由法向量與的方向可知，，
∴，即二面角的余弦值為.   12分
點評：