Question

（本小題滿分14分）
如圖4，在三棱柱中，△是邊長為的等邊三角形，
平面，，分別是，的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）若為上的動點，當與平面所成最大角的正切值為時，
求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

（1）延長交的延長線于點，連接∵∥，且∴為的中點. ∴∥.∴∥平面（2）

試題分析：解法一：
（1）證明：延長交的延長線于點，連接.

∵∥，且，
∴為的中點.  
∵為的中點，
∴∥. 
∵平面，平面，
∴∥平面. 
（2）解：∵平面，平面，
∴.
∵△是邊長為的等邊三角形，是的中點，
∴，. 
∵平面，平面，，
∴平面.
∴為與平面所成的角.  
∵，
在Rt△中，，
∴當最短時，的值最大，則最大.
∴當時，最大. 此時，.
∴.
∵∥，平面，
∴平面.
∵平面，平面，
∴，.   
∴為平面 與平面所成二面角（銳角）.
在Rt△中，，.
∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.
解法二：
（1）證明：取的中點，連接、.

∵為的中點，
∴∥，且.
∵∥，且，
∴∥，.  
∴四邊形是平行四邊形.
∴∥.  
∵平面，平面，
∴∥平面.  
（2）解：∵平面，平面，
∴.
∵△是邊長為的等邊三角形，是的中點，
∴，.
∵平面，平面，，
∴平面.
∴為與平面所成的角. 
∵，
在Rt△中，，
∴當最短時，的值最大，則最大. 
∴當時，最大. 此時，.
∴.  
在Rt△中，.
∵Rt△～Rt△，
∴，即.
∴.  
以為原點，與垂直的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，
建立空間直角坐標系.
則，，，.
∴， ， .
設平面的法向量為，
由，，
得 
令，則.
∴平面的一個法向量為. 
∵平面， ∴是平面的一個法向量.
∴.   
∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為. 
點評：立體幾何題目若能找到從同一點出發的三線兩兩垂直則一般采用空間向量的方法求解，并且向量法求解立體幾何問題是高考題目的方向。本題還考查了空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法