Question

已知函數g（x）=

3

sinx-cosx，且f（x）=

3

3

g′（x）（g（x）+cosx）
（Ⅰ）當x∈[0，

π

2

]時，f（x）函數的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a=

3

，b=

2

，f(A)=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出g（x）的導函數，把求出的導函數和g（x）代入到f（x）中，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡為一個角的正弦函數，根據x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，利用正弦函數的圖象可得到f（x）的值域；
（Ⅱ）根據f（A）=

3

2

，把x=A代入第一問求出的f（x）的解析式中，得到的函數值等于1，得到sin（2A-

π

6

）的值，根據A的范圍得到2A-

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，然后利用正弦定理，由a，b及求出的sinA的值即可求出sinB的值，根據B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數，根據三角形的內角和定理即可求出C的度數．

解答：解：（Ⅰ）由函數g（x）=

3

sinx-cosx，得到g′（x）=

3

cosx+sinx，
代入f（x）得：f(x)=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，（3分）
∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，
∴f（x）的值域[0，

3

2

]；（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=

3

2

，
∴sin(2A-

π

6

)=1，
又∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，（10分）
∵sinB=

sinA

a

•b=

2

2

，又0＜B＜

2π

3

，
∴B=

π

4

∴C=π-

π

3

-

π

4

=

5π

12

．（14分）

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，靈活運用正弦定理化簡求值，是一道中檔題．學生做題時時刻注意角度的范圍．