Question

【題目】某河道中過度滋長一種藻類，環保部門決定投入生物凈化劑凈化水體. 因技術原因，第t分鐘內投放凈化劑的路徑長度 (單位：m)，凈化劑凈化水體的寬度 (單位：m)是時間t(單位：分鐘)的函數: (由單位時間投放的凈化劑數量確定，設為常數，且).

（1）試寫出投放凈化劑的第t分鐘內凈化水體面積的表達式；

（2）求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:（1）根據題意去掉絕對值寫出分段函數的表達式;（2）當40≤t≤60且t∈N*時，S(t)= 在40≤t≤60時單調遞減；當t=60時，S(t)有最小值2a2+120．當1≤t＜40且t∈N*時，S(t)= ≥100+a2+20a；①若a=1或2或3時 S(t)在1≤t＜40范圍中有最小值a2+2a +100．在40≤t≤60時S(t)有最小值2a2+120．當a=1時，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；當a=2或a=3時，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．②若a≥4且1≤t＜40時， S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+， S(t)在1≤t≤60時單調遞減．當t=60時，S(t)有最小值2a2+120．

試題解析:（1）由題意， .

（2）當40≤t≤60且t∈N*時，S(t)= ，當t增加時減少，

所以S(t)在40≤t≤60時單調遞減；當t=60時，S(t)有最小值2a2+120．

當1≤t＜40且t∈N*時，S(t)= ≥100+a2+20a；

①若a=1或2或3時；當t=10a時，上述不等式中的等號成立，

S(t)在1≤t＜40范圍中有最小值a2+2a +100．

又在40≤t≤60時S(t)有最小值2a2+120．

當a=1時，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；

當a=2或a=3時，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．

②若a≥4且1≤t＜40時，因為≤0，

所以S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+，

故S(t)在1≤t≤40中單調遞減；又S(t)在40≤t≤60時單調遞減，

所以S(t)在1≤t≤60時單調遞減．

所以，當t=60時，S(t)有最小值2a2+120．

綜上，若a=1，當t=10時，S(t)有最小值121；即第10天的銷售額最少，為121千元．

若a≥4且a∈N*，當t=60時，S(t)有最小值2a2+120．