Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，直線的參數方程是（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且直線與曲線交于，兩點.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程及直線恒過的定點的坐標；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若，求直線的普通方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）：,; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)極坐標化為直角坐標可得曲線C的直角坐標方程為，

由直線的參數方程可得直線恒過定點.

(2)將直線方程與橢圓的普通方程聯立，結合題意所給的條件可得直線的普通方程為.

試題解析：

（Ⅰ）因為，，所以：.直線恒過定點為.

（Ⅱ）把直線的方程代入曲線的直角坐標方程中得：.

由的幾何意義知，，因為點在橢圓內，這個方程必有兩個實根，

所以，因為，即，

所以，因為，所以，

因此，直線的方程為.