Question

已知S_n是數列{a_n}的前n項和，（n≥2，n∈N^*），且．
（1）求a₂的值，并寫出a_n和a_n+1的關系式；
（2）求數列{a_n}的通項公式及S_n的表達式；
（3）我們可以證明：若數列{b_n}有上界（即存在常數A，使得b_n＜A對一切n∈N^*恒成立）且單調遞增；或數列{b_n}有下界（即存在常數B，使得b_n＞B對一切n∈N^*恒成立）且單調遞減，則存在．直接利用上述結論，證明：存在．

Answer 1

解：（1）∵，且．
∴2S₂=S₁+2
∴．
當n≥2時，①；
②
②-①得．
又，即n=1時也成立．
∴（n∈N^*）…（5分）
解：（2）由（1）得，2a₁=1，
∴{2ⁿa_n}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴2ⁿa_n=1+（n-1）×1=n，
∴，n≥2時，，，，
又，也滿足上式，
∴（n∈N^*）…（10分）
證明：（3）∵，
∴{S_n}單調遞增，
又，
∴存在…（15分）
分析：（1）由，且，令n=2可求a₂，利用a_n+1=S_n+1-S_n可求出a_n和a_n+1的關系式
（2）由（1）可構造得{2ⁿa_n}是首項為1，公差為1的等差數列，可先求2ⁿa_n，進而可求a_n，s_n
（3）由S_n+1-S_n的差的符號可判斷單調性，結合單調性可判斷其的上界，可證
點評：本題主要考查了數列的遞推公式在數列通項公式求解中的應用，及構造等差數列求解通項的應用，數列的單調性在數列的范圍求解中的應用