Question

如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著一個等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角邊上再連接正方形…，如此繼續．若共得到1023個正方形，設起始正方形的邊長為

2

2

，則最小正方形的邊長為

1

32

．

Answer 1

分析：正方形的邊長構成以

2

2

為首項，以

2

2

為公比的等比數列，利用共得到1023個正方形，借助于求和公式，可求得正方形邊長變化的次數，從而利用等比數列的通項公式，即可求最小正方形的邊長．

解答：解：由題意，正方形的邊長構成以

2

2

為首項，以

2

2

為公比的等比數列，現已知共得到1023個正方形，則有
1+2+…+2ⁿ=1023，∴n=10
∴最小正方形的邊長為

2

2

× (

2

2

)10-1=

1

32

故答案為

1

32

點評：本題以圖形為載體，考查等比數列的求和公式及通項，關鍵是的出等比數列模型，正確利用相應的公式．