Question

【題目】設函數.

(1)若，求函數在的切線方程；

(2)若函數在上為單調遞減函數，求實數的最小值；

(3)若存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析: （1）若，寫出函數,求出切點和斜率,即可寫出切線方程;(2) 函數可化為，在上為單調遞減函數,即導函數小于等于0在在上恒成立,分離參變量,轉化為構造出的新函數最值問題,對新函數求導,判斷單調性求出最值即可;(3) 存在，使得成立,即,又,即f(x)min ,根據的導函數對參數進行討論,分別得出單調性進而求出最小值,代入不等式求出a的范圍.

試題解析:(1)若，則，，，，

所以所求切線為

（2）函數可化為，在上為單調遞減函數，在上恒成立，恒成立，令，則，

可知在單調遞增，在單調遞減，所在，

最小值是

(3)命題等價于“當時,有f(x)minf′(x)max+a”，

由(Ⅰ)知,當x∈[e,e2]時,lnx∈[1,2],，

=，

問題等價于：“當x∈[e,e2]時,有f(x)min ”，

①a 時,由(2),f(x)在[e,e2]上為減函數，

則f(x)min=f(e2)=

∴.

②當

由于在上為增函數，所以的值域為

即

若，即，恒成立，所以為增函數，于是

，不合題意

若，，由的單調性和值域知

存在唯一，使得，且

,,為減函數

,,為增函數

所以

與矛盾

綜上,實數a的取值范圍為.