Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，

m

•

n

=-1，且向量

n

與向量

q

=（1，0）共線．
（Ⅰ）求向量

n

的坐標(biāo)
（Ⅱ）若向量

p

=（2cos²

C

2

，cosA），其中A、C為△ABC的內(nèi)角，且∠B=

π

3

，求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量共線定理即可得出．
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差化積、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)

n

=（x，y），
∵

m

•

n

=-1，且向量

n

與向量

q

=（1，0）共線，向量

m

=（1，1），
∴x+y=-1，y=0．
解得x=-1，y=0．
∴

n

=（-1，0）．
（2）

n

+

p

=（2cos2

C

2

-1，cosA）=（cosC，cosA），
∴|

n

+

p

|=

cos2C+cos2A

=

1+cos2C 2 + 1+cos2A 2

=

cos(A+C)cos(A-C)+1

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

∵0＜C＜

2π

3

，
∴-

2π

3

＜

2π

3

-2C＜

2π

3

，
∴-

1

2

＜cos(

2π

3

-2C)≤1，
∴

1

2

≤1-

1

2

sin(

2π

3

-2C)＜

5

4

，
∴

2

2

≤

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

＜

5

2

．
∴

n

+

p

|的取值范圍是[

2

2

，

5

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量共線定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、和差化積、余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．