Question

已知實數x，y滿足

y≥1 y≤2x-1 x+y≤8

，則目標函數z=x²+（y-3）²的最小值為

16

5

．

Answer 1

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義確定z的最小值即可．

解答：解：作出不等式組對應的平面區域如圖（陰影部分）：
∵z=x²+（y-3）²，
∴z的幾何意義是動點P（x，y）到定義A（0，3）的距離的平方，
由圖象可知當點P位于D處時，距離最大，
當P為A在直線y=2x-1的垂足時，距離最小，
由點到直線2x-y-1=0的距離公式得d=|AP|=

|-3-1|

22+12

=

4

5

，
∴z的最小值為d 2=(

4

5

)2=

16

5

．
故答案為：

16

5

．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義是解決此類問題的關鍵，利用數形結合是解決此類問題的基本方法．