Question

設奇函數f（x）對任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+

1

2

．
（1）求f(

1

2

)和f(

k

n

)+f(

n-k

n

)(k=0，1，2，…，n)的值；
（2）數列{a_n}滿足：a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)-f(

1

2

)，數列{a_n}是等差數列嗎？請給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據f(x)=f(x-1)+

1

2

，且f（x）是奇函數，將

1

2

代入，可求f(

1

2

)的值，再結合奇函數得到f(x)+f(1-x)=

1

2

．令x=

k

n

，即可求得結論；
（2）利用倒序相加法結合第一問的結論，求出S_n，進而求出數列{a_n}的通項公式，再根據定義即可證得數列{a_n}是等差數列．

解答：解：（1）∵f(x)=f(x-1)+

1

2

，且f（x）是奇函數
∴f(

1

2

)=f(

1

2

-1)+

1

2

=f(-

1

2

)+

1

2

=-f(

1

2

)+

1

2

∴2f(

1

2

)=

1

2

，故f(

1

2

)=

1

4

（3分）
因為f(x)=f(x-1)+

1

2

=-f(1-x)+

1

2

，所以f(x)+f(1-x)=

1

2

．
令x=

k

n

，得f(

k

n

)+f(1-

k

n

)=

1

2

，即f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=

1

2

．（6分）
（2）令sn=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又sn=f(1)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
兩式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．
所以sn=

n+1

4

，（6分）
故an=sn-f(

1

2

)=

n+1

4

-

1

4

=

n

4

，n∈N*（10分）
又an+1-an=

n+1

4

-

n

4

=

1

4

．故數列{a_n}是等差數列．（12分）

點評：本題主要考查數列與不等式的綜合問題．解決本題第一問的關鍵在于利用奇函數的性質得到f(x)+f(1-x)=

1

2

．而解決第二問的關鍵在于用到了倒序相加求和．