Question

設函數f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）設函數F（x）=f（x）-g（x），判斷函數F（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若關于x的方程g（m+2x-x²）=f（x）有實數根，求實數m的范圍；
（Ⅲ）當a＞1時，不等式f（n-x）＞

1

2

g（x）對任意x∈[0，1]恒成立，求實數n的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數奇偶性的定義判斷函數F（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用方程g（m+2x-x²）=f（x）有實數根，建立m的方程求出m的范圍；
（Ⅲ）利用不等式恒成立，求實數n的范圍．

解答：解：（I）要使函數（x）=f（x）-g（x）有意義，
則

1-x＞0 1+x＞0

，解得-1＜x＜1，
即函數的定義域為（-1，1）關于原點對稱．
∵F（x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）
=-[f（x）-g（x）]=F（-x），
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函數；
（II）方程g（m+2x-x²）=f（x）有實數根，
即loga[1+(m+2x-x2)]=loga(1-x)
∴1+m+2x-x²=1-x，
即m=x²-3x有實數根，
由-1＜1-x＜1，得0＜x＜2．
又函數f（x）的定義域為{x|x＜1}，
∴此時0＜x＜1．
∵m=x²-3x=(x-

3

2

)2-

9

4

，0＜x＜1，
∴-2＜m＜0．
（Ⅲ）∵f（n-x）=log_a（1-n+x），

1

2

g（x）=

1

2

loga(1+x)，
∴由a＞1且f（n-x）＞

1

2

g（x）
得1-n+x＞

1+x

，
設t=

1+x

，則1≤t≤

2

，
∴不等式等價為t²-n＞t，
即n＜t²-t，
設g（t）=t²-t，則g(t)=(t-

1

2

)2-

1

4

，
∴當t=1，即x=0時，g（t）有最小值0．
∴n＜0．

點評：本題主要考查了對數函數有關的性質，考查函數恒成立問題，綜合性較強，難度較大．