Question

設奇函數f（x）在區間[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1．當x∈[-1，1]時，函數f（x）≤t²-2at+1，對一切a∈[-1，1]恒成立，則實數t的取值范圍為（　　）

A．-2≤t≤2

B．t≤-2或t≥2

C．t≤0或t≥2

D．t≤-2或t≥2或t=0

Answer 1

分析：奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，只需要比較f（x）的最大值與t2-2at+1即可．由于函數在[-1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t²-2at+1，因其在a∈[-1，1]時恒成立，可以改變變量，以a為變量，利用一次函數的單調性轉化求解．

解答：解：奇函數f（x）在[-1，1]上是增函數，且f（-1）=-1，在[-1，1]最大值是1，
∴1≤t²-2at+1，
當t=0時顯然成立
當t≠0時，則t²-2at≥0成立，又a∈[-1，1]
令g（a）=2at-t²，a∈[-1，1]
當t＞0時，g（a）是減函數，故令g（1）≥0，解得t≥2
當t＜0時，g（a）是增函數，故令g（-1）≥0，解得t≤-2
綜上知，t≥2或t≤-2或t=0
故選D．

點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查函數的奇偶性，單調性與最值，考查一個恒成立求參數的問題，此類題求解的關鍵是解題中關系的轉化，本題借助單調性確定最值進行轉化，這是不等式型恒成立問題常用的轉化技巧．